Maximos y Minimos Relativos

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.
Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.
Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Ejemplo de regla normal y tangente

Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
·Sea el punto de tangencia (a, b)
·m = 1
·f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
·Punto de tangencia:(0, 1)
·Recta tangente:
·y − 1 = x y = x +1
·Recta normal:
·m= 1P(0, 1)
·y − 1 = −x y = −x + 1















Ecuación de la recta Tangente

Ejemplo

Los tres grandiosos científicos que aportaron a la derivada

''Yo creo que, en general, uno de los primeros principios de cada hombre sabio es conformarse estrictamente co las leyes del país en el que vive, incluso cuando son irracionales.''- Joseph-Louis de Lagrange

Las aportaciones de Joseph-Louis de Lagrange
En el prólogo de su primer trabajo, Investigaciones sobre máximos y mínimos, publicado en 1759, Lagrange escribía su propósito de “luchar contra el prejuicio de aquellos que opinan que las matemáticas nunca podrán contribuir al verdadero conocimiento de la física.” Un propósito que llevó a la práctica y que quedo plasmado en una de sus obras más celebradas, la Mecánica Analítica, un compendio de mecánica con un tratamiento puramente analítico en el que no aparecen figuras geométricas y que puede generalizarse a espacios de dimensión cualquiera. Pese a su importancia posterior, fueron innumerables y muy intrincadas las trabas que se pusieron a la publicación de dicha obra, que al final consiguió ver la luz gracias a las influencias de Legendre. Lagrange, resentido por las humillaciones de que había sido víctima, dejó el volumen sin abrir encima de su mesa durante más de dos años.
Lagrange también fue el primero en resolver, para un caso particular, el problema de los tres cuerpos. Su Teoría de Funciones Analíticas fue clave para los posteriores trabajos de Cauchy, ya que Lagrange desproveyó al estudio de las derivadas de cualquier cosa que hablara de fluxiones, cantidades infinitamente pequeñas o infinitésimos. Suyo es el término “derivada” y la notación x’ que utilizamos actualmente para designar la derivada de una función. También fueron importantes sus aportaciones a la Teoría de Números y la resolución de ecuaciones algebraicas, que sentarían las bases para la futura teoría de grupos.

''Me he visto obligado a admitir diversas proposiciones que parecerán algo duras; por ejemplo, que una serie divergente carece de suma".-Augustin-Louis Cauchy

Las aportaciones de Augustin Louis Cauchy

Fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.Comenzó a dedicarse a la investigación científica intensiva, y a la publicación de varias obras importantes en rápida sucesión. La principal conclusión de este período fue la demostración del teorema de Fermat, al que se habían dedicado sin éxito ilustres matemáticos contemporáneos como Gauss

En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.
Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente

''Amar es encontrar en la felicidad de otro la propia felicidad.''-Gottfried Wilhelm von Leibniz

Las aportaciones de Gottfried Wilhelm von Leibniz Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia.Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la de las matemáticas. Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También descubrió el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Fue uno de los primeros intelectuales europeos que reconocieron el valor y la importancia del pensamiento chino y de la China como potencia desde todos los puntos de vista.

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular. En el siglo XVIII, el concepto de "función" perdió estas asociaciones meramente geométricas.
Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como "Eliminación Gaussiana". Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra Booleana y la lógica simbólica.

Reglas básicas de la derivación

En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia.En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado.

La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

1.Para una constante ''a'':
·Si f(x)=a, su derivada es f '(x)=0

Ejemplo:

→ Si f(x)=16, su derivada es f '(x)=0

2. Para la función identidad f(x)= x.

·Si f(x)= x, su derivada es f '(x)= 1.

Ejemplo:

→Si f(x)= x,su derivada es f '(x) =1

3.Para una constante ''a'' por una variable ''x'':

·Si f(x)=ax, su derivada es f '(x)=a

Ejemplo:

→Si f(x)= 7x, su derivada es f '(x)= 7

4.Para una varibale ''x'' elevada a una potencia ''n'':

·Si f(x)=xⁿ, su derivada es f '(x)= nxⁿˉ¹

Ejemplo:

→Si f(x)= x², su derivada es f '(x)= 2x

5.Para una constante ''a'' por una varibale ''x' elevada a una potencia ''n''

·Si f(x)= axⁿ su derivada es f '(x)= anxⁿ̄ˉ¹

Ejemplo:

→Si f(x) = 4x², su derivada es f '(x)= 8x

6. Para una suma de funciones:

·Si f(x) = u(x) +v(x), su derivada es f '(x) = u'(x) + v'(x)

Ejemplo:

→Si f(x)= 3x²+4x, su derivada es f '(x) = 6x+4

7.La regla de producto.

·Esta regla es útil cuando se tiene una funcion formada de la multiplicación de polinomios, como por ejemplo: f(x)=(2x³+3)(3x³-5); la regla de producto es :

Si ''u'' y ''v'' son los polinomios:

La función:f(x) = uv
Su derivada: f '(x) = u'v +uv'

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es la derivada de f(x)= (2x³+3)(3x³-5)?

→Solución:

f(x)= (2x³+3)(3x³-5)

f(x)= (6x²)(3x³-5) + (2x³+3)(12x³)

Si es fácil simplificar la expresión,entonces debe simplificarse.

8. La regla de cociente.

·Esta regla es útil cuando se tiene una funcion formada de la división de polinomios, como por ejemplo: f (x)= 2x³+3/3x²-5; la regla de cociente es:

Si ''u'' y ''v'' son los polinomios:

La función: f(x)= u/v

Su derivada: f '(x)= u'v- uv'/v²

Veamos un ejemplo:
¿Cuál es la derivada de f(x) = 2x³+3/3x²-5?

→Solución:

f(x) = 2x³+3/3x²-5

f '(x)= (6x²)(3x²-5)-(2x³+3)(12x³)/(3x²-5)²

Si es fácil simplificar la expresión,entonces debe simplificarse.

9.Regla de cadena.

·Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia como por ejemplo: f(x) = (2x³+3)³; la regla de cadena es:

Si ''u'' es el polinomio:

La funcíón: f(x)= uⁿ̄

Su derivada:f '(x) = n(u)ⁿˉ¹(u')̄

Veamos un ejemplo:¿Cuál es la derivada de f(x) = (2x³+3)³?
→Solución:

f(x)=(2x³+3)³

f '(x)=3(2x³+3)²(6x²)

f '(x)=18x²(2x³+3)²